Aplicando la trigonometría a la medida

Iniciamos el proyecto Montados en hombros de gigantes

En Fe y Alegría la enseñanza de la matemática se concibe como un proceso orientado hacia el desarrollo del conocer reflexivo asociado a la construcción del conocimiento matemático escolar, que puede verse reflejado en el logro de determinadas competencias matemáticas básicas (Andonegui, 2004).

En vías de mejorar la calidad de la educación que imparten, la red de escuelas asociadas a Fe y Alegría participaron en un proceso de evaluación dirigido por la Federación Internacional de Fe y Alegría donde se analizaron las habilidades de los estudiantes en los ejes de lecto-escritura y el pensamiento lógico. Dados los resultados obtenidos se inicia para los años 2009-2011 el proyecto Montados en hombros de gigantes (MHG) en educación Primaria el cual, según Guedez, Prieto y Rosas (2012), permitió identificar otros elementos de la dinámica escolar y la práctica docente que son fundamentales y que han permitido cierta coherencia en los avances y la comprensión de la realidad educativa que se va construyendo.

Montados en hombros de gigantes es el nombre con el que se ha querido transformar e impulsar nuevas prácticas de aprendizaje, orientadas a una enseñanza constructivista e innovadora. Isaac Newton ya lo decía “Si he visto más lejos que otros es porque me he montado en los hombros de un gigante”. Fe y Alegría cree fielmente en los nuevos horizontes y apuesta por los miles de educadores populares que cada día se suman al reto de autoevaluarse y redimensionar sus prácticas en busca de la mejora de la calidad. Por eso el proyecto MHG es el gigante con el que la matemática busca en nuestras escuelas llegar a la vida, mejorar las destrezas y desarrollar competencias lógicas en nuestros estudiantes.

Montándonos en hombros de gigantes en la U.E. “La Chinita”

A partir de año 2012 dada la preocupación que tenía Fe y Alegría – Zona Zulia, actualmente Región Occidente, por los resultados obtenidos en las pruebas en el marco del Proyecto de Evaluación de la Calidad Educativa, asumimos el desarrollo del proyecto MHG y de esa manera todos los docentes del área Matemáticas comenzamos a recibir la formación para transformar la forma de enseñar matemáticas a los estudiantes del nivel Media Técnica. Es así como mis estudiantes de la U. E. Fe y Alegría “La Chinita”, ubicada en un sector del barrio Cuatricentenario, en la Parroquia Fran cisco Eugenio Bustamante del Municipio Maracaibo, comenzaron a conocer otra forma de aprender.

Empezando los cambios

A partir de la formación recibida me dediqué a investigar de qué manera podía impartir el contenido de trigonometría, motivando su comprensión y estudio. Avancé en la conciencia de que los profesores de Matemáticas cuando estudiamos la trigonometría plana, por ejemplo, solemos insistir en su aplicación para medir sin brindar a los alumnos la oportunidad de hacerlo: simplemente están limitados a resolver un problema escrito en el pizarrón o sugerido en el libro. Si quería incidir en ellos y transformar mi práctica debía enfatizar en problemas vinculados con el contexto, en situaciones cuyos datos se extrajeran de casos reales. La intención es que sea el mismo estudiante quien recoja los datos, plantee cómo obtenerlos y resuelva el problema. La motivación aumenta a la hora de ser ellos los propios medidores manejando los distintos instrumentos de medida.

El Gigante llega a la Educación Media

En el 2012 en un encuentro de formación con docentes de matemática de educación Media seleccionados de todas las escuelas Fe y Alegría a nivel nacional se socializó por primera vez la propuesta de MHG a cargo del Centro de Formación e Investigación Padre Joaquín (CFIPJ) en sus esfuerzos para ampliar la visión que se tiene sobre la práctica educativa de esta área, en alianza con la Universidad del Zulia (LUZ) y su Centro de Estudios Matemáticos y Físicos (CEMAFI). Entonces el Gigante comenzó a caminar en las aulas con el impulso de estos profesores quienes, reflexionando sobre su hacer diario y el deseo de generar aprendizajes significativos en sus alumnos, se apropiaron de la propuesta comenzando así a dar los primeros y más difíciles pasos.

¿Cómo camina el Gigante en las aulas?

El proyecto MHG en Educación Media centra la formación en el estudio de las situaciones de aprendizaje como medios que favorecen el desarrollo de competencias matemáticas y la manera de integrarlas eficientemente a la práctica del docente.

MHG llega a las aulas de clase por medio de las fichas de actividades, instrumento del profesor donde se detalla toda una estructura que gira en torno a la aplicación de una tarea matemática específica (situación de aprendizaje).

La tarea matemática se entiende como la descripción problematizada de una situación de aprendizaje, a la vez que se considera como el punto de partida de la actividad matemática en el aula (Watson & Sullivan, 2008).

La ficha de actividades define las principales características o fases de una clase de matemática, estructurada en dos bloques: el primero es de referencia, que contiene los elementos generales que identifican a la clase (institución, profesor, tema, objetivos, competencias, indicadores y la situación de aprendizaje) y el otro corresponde al desarrollo, donde se describen cuatro fases de la enseñanza (presentación de la actividad, desarrollo de la actividad, formulación de ideas e institucionalización).

Para mí fue importante observar la actitud de mis alumnos ante los contenidos matemáticos mostrados de forma monótona y descontextualizada; reconociendo que era normal esa actitud de fastidio al tener que memorizar teoremas o fórmulas matemáticas cuando ni siquiera entienden la utilidad de las mismas. Una interrogante siempre latente es el “¿para qué aprender algo que nunca voy a utilizar?”. En este aspecto es nuestra tarea buscar situaciones de aplicación de los conceptos matemáticos a estudiar; estas situaciones son estudiadas desde la teoría del análisis fenomenológico y según Puig (1997), pueden ser de la cotidianidad, de otras ciencias o, en estudios más complejos, de la propia matemática. Está claro que al brindarle al estudiante la utilidad del contenido se está planteando una matemática en y para la vida, repercutiendo directamente en su interés en la clase. Pretendemos que nuestro alumnado sea consciente de la perspectiva histórica del contexto, viendo su dimensión social y cultural, así como la importancia y presencia de las matemáticas en su entorno; incentivar su creatividad y la innovación.

Durante varios años pude notar preocupado que el contenido de Trigonometría no despertaba interés en los estudiantes y por eso les pregunté: ¿cómo hago yo para que ustedes se interesen en el tema?, ¿qué les gustaría aportar para que las clases de matemáticas fueran más dinámicas y enriquecedoras? Sus respuestas fueron variadas, sin embargo me llamaron la atención dos interrogantes: ¿qué beneficios o aportes le dio dicho tema a la matemática?, y ¿quiénes lo descubrieron o quiénes fueron los “locos” en inventar eso? Fue en ese momento cuando sentí la inquietud por buscar estrategias novedosas para abordar los temas que mis estudiantes consideraban “tediosos y difíciles de aprender”. Comencé a investigar para convertir la clase en un espacio enriquecedor empezando por preguntar si sabían quién o quiénes fueron los descubridores o inventores de la trigonometría. Esto me permitió abordar un poco la historia y posteriormente desarrollé mi primera estrategia, es decir, al trabajo concreto para materializarla.

Esta breve sistematización abarcó el lapso comprendido entre el 5 de marzo y el 10 de mayo de 2014, con los alumnos cursantes del 1er año de Educación Media Profesional de la mención Electrónica y de Informática, con edades comprendidas entre los 14 y 17 años, aproximadamente. La gran mayoría de ellos provienen de familias de escasos recursos económicos, sin la figura paterna en el hogar y dependientes de madres trabajadoras. Cabe destacar que muchos vienen con deficiencias de años anteriores a nivel de conceptos y procedimientos, además demuestran poco interés en mejorar sus aprendizajes en el eje Desarrollo del pensamiento, planteado en el proyecto Escuela Necesaria de Calidad de Fe y Alegría.

No obstante lo anterior, el grupo tiene capacidad para analizar y reflexionar ante cualquier situación, poseen disposición para aprender, aunque algunas veces se distraen o buscan fomentar la indisciplina dentro del salón, pese a esto son muy eficientes académicamente. Respetan las ideas del otro, comparten sus experiencias, son solidarios; la tolerancia sigue siendo es un punto débil, pero, se está trabajando en ello.

Los objetivos

Le sugerí dos interrogantes a los grupos: ¿por qué no medir la altura de la antena que está en los alrededores de la escuela o conocer la altura de cualquier árbol que esté dentro del colegio? Seguidamente les propuse la construcción de sus propios teodolitos, realizar las mediciones necesarias en el estudio de distintos objetos y el análisis de esos resultados comparándolos con los resultados reales. A través de este proyecto esperaba lograr los siguientes objetivos:

1. Construir un medidor de ángulos y otro para medir longitudes.
2. Diseñar estrategias que permitan mediante el uso del teodolito y el odómetro medir distancias y ángulos.
3. Resolver problemas en el que los datos son reales y registrados por los mismos alumnos.
4. Cuestionar críticamente los resultados obtenidos en el grupo y por los demás grupos.
5. Ratificar la utilidad de las matemáticas, a través de la trigonometría.

La planificación del trabajo la reflejé en la ficha de actividades de la siguiente manera:

Tema: Aplicaciones de la trigonometría a la medida
Ficha No. 3

1er Año de Informática y Electrónica
Nivel: Media Técnica
Profesor: José Ochoa

Competencias fundamentales:

• Desarrolla la competencia comunicativa oral y escrita.
• Toma decisiones a partir de la información procesada e interpretada.
• Conoce el desarrollo histórico de la Matemática.
• Toma conciencia sobre cómo la Matemática puede contribuir a explicar la realidad que le
  rodea, para generar cambios en ella.

Competencias específicas del área de Matemática:

• Resuelve problemas matemáticos.
• Elabora y aplica modelos.

Indicadores:

• Construye modelos matemáticos.
• Recoge datos de la realidad.

Actitudinales:

• Trabaja en grupo para la construcción del
  odómetro y el teodolito.

Conceptuales:

• Interpreta y analiza los datos registrados.

Procedimentales:

• Propone soluciones para resolver los problemas que presente su entorno. 

Situación de aprendizaje

A través de esta actividad los alumnos podrán construir dos instrumentos: uno para medir longitudes y el otro para medir ángulos, de manera que pudieran interpretar, relacionar y obtener información a través de dibujos y gráficas, resolver problemas de trigonometría e identificar las variables representadas en cada uno de los puntos seleccionados. A través de dos sencillas preguntas comenzamos la construcción de los instrumentos nombrados: ¿a qué distancia se encuentra el árbol del salón?, ¿qué distancia tienes que recorrer cada día para ir a la escuela? Indicamos que para medir distancias usamos unidades como centímetros, kilómetros y metros, les comenté que hay muchos instrumentos que sirven para medir como la rueda de mediciones.

Construcción del odómetro

Materiales: Regla, cuerda, tachuelas, lápiz, cartulinas de colores, clavos, un palo de escoba, un trozo de corcho, cinta adhesiva y pegamento.

Procedimiento:

1. Corta un trozo de cuerda de unos 15 cm, ata el lápiz a un extremo y sujeta el otro con una tachuela en el centro de una cartulina. Traza un círculo usando el lápiz y luego recórtalo.
2. Corta una flecha y pégala en el círculo. Apunta la flecha hacia el borde y la base hacia el centro.
3. Pega el clavo en la punta del palo de escoba con cinta adhesiva. Envuelve el extremo del palo de escoba para asegurar el primer trozo de cinta que pegaste.
4. Atraviesa con el clavo el centro de la circunferencia y clava el corcho en la punta como tope. Asegúrate de que la rueda pueda girar y se mantenga estable.
5. Para medir la distancia entre dos objetos, comienza por poner tu rueda al lado del primer objeto, con la flecha apuntando hacia el suelo. Avanza en línea recta haciendo girar la rueda hasta el segundo objeto. Cuenta las veces que la flecha toca el piso antes de llegar. Esto te dará la distancia entre los objetos en metros.

Cómo funciona

Si se traza un radio de 15 cm la longitud de la circunferencia será, aproximadamente, de 1 m. La rueda dará una vuelta por cada metro recorrido, es decir, el número de veces que da la vuelta completa corresponderá al número de metros que hay de un lugar a otro.

Construcción de un teodolito

Cuando los agrimensores hacen el mapa de un terreno, necesitan conocer la pendiente de las superficies, lo que se llama declive. Para eso usan un instrumento sobre un trípode llamado teodolito que sirve para determinar el ángulo hacia arriba o hacia abajo desde un determinado lugar hasta otro.

Materiales: Cartulina de colores, pegamento, tijeras, regla, transportador, pila, cuerda, cinta adhesiva.

Procedimiento:

1. Dibuja y recorta un círculo de cartulina con el método usado en el odómetro y luego dóblalo por la mitad. Empleando el transportador y una regla marca las líneas a intervalos de 10º. Numera las líneas de 0º en el medio a 90º a cada lado del borde recto.
2. Fabrica dos visores enrollando dos tiras de cartulinas para formar unas abrazaderas con cada una. Luego insértalas entre los dos semicírculos de cartulina y pega una contra la otra.
3. Cubre la pila con cartulina como en la foto.
4. Sujétala a una cuerda de 61 cm. de largo para hacer una plomada. Pega el otro extremo de la cuerda en la mitad del borde recto del semicírculo. ¡Ya tienes tu teodolito!
5. Para medir el ángulo entre el lugar donde te encuentras y otro objeto simplemente mira ese objeto a través de los dos visores. Pídele a alguien que te lea el ángulo señalado. Este será el ángulo existente entre tú y el objeto.

Cómo funciona

A medida que levantas o bajas el borde recto para alinearlo con un objeto, la plomada se balancea formando un ángulo que se aparta del 0º.

Primera fase: Presentación de la actividad (30´)

Después de finalizar la construcción de estos instrumentos, brindé las instrucciones para determinar algunas longitudes dentro de la escuela y medir ciertos ángulos.

Segunda fase: Desarrollo de la actividad (45´)

Divididos en pequeños grupos de trabajo de 4 integrantes, los estudiantes desarrollaron la actividad, designando un redactor responsable de registrar el proceso dado en la discusión y análisis de la situación.

Fui orientando el trabajo, verificando que todos participaran. Para facilitar el trabajo de los grupos se les sugiere dar respuesta a las siguientes preguntas, además cada uno de los grupos registró los resultados obtenidos, regresar al aula y realizar los cálculos respectivos para determinar: a) la distancia que hay desde la antena que está por las afueras de la escuela hasta un punto del patio central y b) el ángulo que hay desde el patio central hasta la altura de la torre.

Tercera fase: Formulación de ideas (30´)

Terminado el tiempo de la fase anterior, algunos grupos expusieron sus ideas y opiniones, las compararon y reflexionaron, permitiendo la discusión de sus respuestas con los demás.

También resultó interesante discutir sobre la relatividad de la efectividad de cada uno de los problemas, pidiéndole a todos que, en grupos libres, organizaran las respuestas emitidas por cada uno para luego exponerlas.

Cuarta fase: Institucionalización (30´)

Es necesario tomar conciencia de lo siguiente:

Es sumamente importante estar atentos que nuestros alumnos consoliden los conceptos de la trigonometría planteando que durante el año académico que cursan (1ro) se abordará ese tema y es un nombre cuyo significado desconocen. ¿Qué es la trigonometría? Para ello se analiza la palabra desde el punto de vista etimológico descubriendo que es un concepto menos “trágico” de lo que parece.

La palabra trigonometría es un sustantivo, que deriva de dos raíces griegas: por una parte τριγωνο (trigōno = tres ángulos) o sea, para nosotros, “triángulo” y μετρον (metron) que “medida”.

¿Por qué es importante aprender trigonometría? Es un estudio muy interesante e incluso divertido si se aprende paso a paso, comprendiendo cada relación trigonométrica. En realidad su importancia reside en que hablamos de un recurso que posibilita la resolución de una gran cantidad de situaciones y problemas cotidianos, es decir, asuntos del mundo real, por lo que en algunas profesiones termina siendo una herramienta fundamental en todo lo relativo a aplicaciones basadas en geometría y distancias. Geólogos, astrónomos, físicos, agrimensores, urbanistas, jardineros, carpinteros, modistas… son sólo algunas de las personas que hacen uso de la trigonometría en forma constante.

¿Por dónde se empieza? Por mirar los triángulos con mirada amistosa, disponiéndose a jugar con ellos, conociéndolos muy bien e interesándose por desentrañar las relaciones entre sus elementos. Estas se llamarán técnicamente razones trigonométricas y serán las fórmulas que se aplicaran una y otra vez para que situaciones que antes parecían muy difíciles de resolver, se conviertan en un desafío divertido y apasionante.

Sugiero que lo primero a abordar sean las relaciones existentes en los triángulos rectángulos. Es más que recomendable comenzar por allí porque son las razones más sencillas de comprender y más fáciles de utilizar. En una etapa posterior, se transitará por las relaciones existentes entre todo tipo de triángulos, donde las aplicaciones y utilidades se multiplican.

Evaluación del proceso

Para evaluar esta ficha didáctica se propone plantear la entrega de un informe escrito donde se evalúen los indicadores mostrados al inicio y a través de la solución de problemas-contexto asociados al tema. La evaluación se puede realizar a través de  instrumentos tan sencillos como el siguiente:

Conclusiones y aprendizajes…

Las clases fueron muy amenas, los estudiantes expresaron sentirse muy a gusto, se evidenció asombro en relación a cómo aprendieron el cálculo de la altura de diversos objetos a través de la trigonometría. Luisa Saavedra, de 4to año de Electrónica, expresó: “Esta es una manera excelente y práctica de conocer y aprender la matemática (…) aprendemos juntos, en equipo, porque por ejemplo, cuando yo estaba midiendo ángulos –sosteniendo el teodolito- mi compañero era el único que podía ver las medidas, hicimos trabajo en equipo”. En la misma línea, Jesús Espinoza, de la misma especialidad, comentó: “La matemática también se puede aprender fuera del aula, porque todo lo que nos rodea se puede medir, calcular (…), del ambiente, de lo que nos rodea, después de verlo, de medirlo, lo analizábamos o graficábamos en clase, ojalá me hubieran enseñado las matemáticas de esta manera en otros años”. Así mismo descubrieron que debían reflexionar los procesos matemáticos partiendo de fórmulas ya establecidas, por ejemplo, Giovanny Velásco, de 4to año de Informática, expresó: “Yo entendí que cuando estaba haciendo el cálculo de la torre, me faltaba mi altura, porque sólo había medido hasta donde yo alcanzaba a ver, y esto lo aprendí porque mi compañera Gioconda me dijo que tenía que saber mi altura para luego sumarla, por lo que tuve que conocer mi altura exacta”.

Después de haber realizado las medidas de longitudes y de ángulos, finalizadas las exposiciones, pude observar que mis alumnos habían sido capaces de comprender el tema, tomando conciencia que al ser abordadas con creatividad y motivando la participación grupal, las matemáticas pueden captar en gran medida la atención de todos.

El trabajo en grupo permitió reforzar la colaboración, el ayudarse mutuamente, el compartir experiencias y reflexiones.

Todo el proceso de aprendizaje de las actividades realizadas por los alumnos para alcanzar el objetivo fue realmente enriquecedor y significativo. También se enfocó en el conjunto de conocimientos, destrezas y actitudes que deberían ser mostradas como evidencias concretas de dicho aprendizaje. Se observó un ambiente de reflexión y elaboración participativa de los conocimientos adquiridos, se abrieron espacios de lectura, interpretaciones y debates donde se profundizó el tema de la trigonometría y no únicamente a nivel individual sino también a nivel colectivo.

Los aprendizajes se evaluaron mediante la auto y coevaluacion, la lista de cotejo, tomando como elementos principales los valores y el desarrollo de las destrezas en el área. Este proceso evaluativo permitió que la participación fuera más activa e interesante y que reforzaran los valores adquiridos durante el desarrollo de las actividades planificadas para dicha competencia.

Dificultades y limitaciones

Entre las dificultades encontradas para el desarrollo de la experiencia puedo destacar que esta asignatura sólo tiene dos horas diarias de clase, por lo cual a veces se trabaja a medias y algunas actividades quedan inconclusas. Otro obstáculo es el recurso económico, dado que se necesita adquirir ciertos materiales y esto dificulta o retrasa la actividad.

A futuro

1. Aprovechar de mejor manera el desenvolvimiento de cada uno de los alumnos.
2. Como docente, estoy comprometido a asumir una actitud de apertura ante el saber de los estudiantes, sus inquietudes, necesidades, brindando los espacios para que se expresen. .
3. Buscar textos actualizados que ayuden en el proceso de investigación.
4. Tener internet en la institución para un mejor desempeño del tema que se va investigar.
5. Hacer grupos de trabajo y solicitarles materiales diferentes para que puedan compartirse entre ellos.

José Ochoa
U.E. Fe y Alegría La Chinita